Question

请完成下面的说明：（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-∠A．

说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．

根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，

所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．

根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=（∠EBC+∠FCB）=（180°+∠_____）=90°+∠_______．

所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．

（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+∠A．

（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？

Answer 1

（1）A A A A A A；（2）证明见解析；（3）∠BGC和∠BIC互补．

【解析】

试题分析：（1）先根据三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由平角的定义可得出∴∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，根据角平分线的定义即可得出结论；

（2）先根据三角形内角和等于180°可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由△ABC的内角平分线交于点I，

可知∠6+∠7=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，故有∠BIG=180°-（∠6+∠8）即可得出结论．

（3）直接把两角相加即可得出结论．

试题解析：（1）∵根据三角形内角和等于180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A．

∵平角是180°，

∴∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，

∴∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．

∵△ABC的外角平分线交于G，

∴∠2+∠3=（∠EBC+∠FCB）=（180°+∠A）=90°+∠A，

∴∠BGC=90°-∠A．

（2）证明：∵三角形内角和等于180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∵△ABC的内角平分线交于点I，

∴∠6+∠7=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-（∠6+∠8）

=180°-（90°-∠A）

=90°+∠A，

即∠BIC=90°+∠A；

（3）【解析】
∵由（1）、（2）知∠BGC=90°-∠A，BIC=90°+∠A，

∴∠BGC+∠BIC=90°-∠A+90°+∠A=180°，

∴∠BGC和∠BIC互补．

考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的角平分线、中线和高．