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【题目】如图,在矩形ABCD中,ECD边的中点,将绕点E顺时针旋转,点D的对应点为C,点A的对应点为F,过点EBC于点M,连接AMBD交于点N,现有下列结论:N的外心.其中正确的个数为  

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】分析:

(1)由旋转的性质易得AD=FC,AE=FE,结合ME⊥AF可得AM=MF,结合MF=MC+CF即可得到结论成立;(2)假设AM=DE+BM成立则结合(1)可推得CE=2MC,但由题中条件不能得到CE=2MC一定成立,故结论不成立;(3)由已知条件证△ADE∽△ECM,结合DE=CE即可证得结论成立;(4)过点MMF⊥AD于点F,连接BFAM于点Q,则易证点QAM的中点,由此可得点N不是AM的中点,从而可得结论不成立;综合(1)--(4)即可得到所求答案.

详解

(1)∵△CEF是由△DEA绕点E旋转180°得到的,

∴AD=FC,AE=FE,DE=CE,

∵ME⊥AF,

∴AM=MF,

∵MF=MC+CF,

∴AM=AD+MC,即结论成立;

(2)假设AM=DE+BM成立

(1)可知AM=AD+MC,

∴AD+MC=DE+BM,

∵AD=BC=BM+MC,DE=CE,

∴BM+MC+MC=BM+CE,

∴2MC=CE,

由题中条件不能确定CE=2MC成立,

∴AM=DE+BM不一定成立,故结论不成立;

(3)∵ME⊥AF,四边形ABCD是矩形,

∴∠ADE=∠MEF=∠ECM=90°,

∴∠MEC+∠EMC=90°,∠EMC+∠F=90°,

∴∠MEC=∠F,

∵AD∥BC,

∴∠DAE=∠F,

∴∠DAE=∠MEC,

∴△ADE∽△ECM,

∴AD:EC=DE:CM,

∴EC·DE=AD·CM,

∵EC=DE,

∴DE2=AD·CM,故结论成立

(4)如下图,过点MMF⊥AD于点F,连接BFAM于点Q,

∴∠ABM=∠BAF=∠AFM=90°,

∴四边形ABMF是矩形,

QAM的中点,

Q是△ABM的外心,

Q与点N不重合,

N不是△ABM的外心,故结论不成立.

综上所述上述4个结论中,成立的是①③,共2.

故选B.

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(数学应用)利用得到的等式解决以下问题:

1

2

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解:原式=

请你把接下来的计算过程补充完整.

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