[题目](1)如图.将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上.使角的一边交CD于点F.另一边交CB或其延长线于点G.求的值,(2)如图.将(1)中的“正方形ABCD 改成“矩形ABCD .其他条件不变．若AB＝m.BC＝n.试求的值,(3)如图.将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点.EF.EG分别交CD与CB于点F.G.且EC平分∠FEG．若AB＝2.BC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求的值；

（2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值；

（3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长．

【答案】（1）1；（2）；（3）, ；

【解析】

（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；

（3）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由（2）知EF=2EG，易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．

（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EI⊥CD于I，

∵四边形ABCD为正方形，

∴CE平分∠BCD，

又∵EH⊥BC，EI⊥CD，

∴EH=EI，

∴四边形EHCI是正方形，

∴∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

即此时；

（2）如图2，

过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

则∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD，

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，

∴，即，

，

∴，

∴；

（3）如图3，

过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，

则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，

∵EC平分∠FEG，

∴CQ=CP，

∴矩形EPCQ是正方形，

∴∠QCP=90°，

∴∠QCG+∠PCG=90°，

∵∠QCG+∠QCF=90°，

∴∠PCG=∠QCF，

在△PCG和△QCF中，

∴△PCG≌△QCF（AAS），

∴CG=CF，

由（2）可得即EF=2EG，

∵点E放在矩形ABCD的对角线交点，

∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，

∴EM=AB=1，EN=AD=BC=2，MC=BC＝2，CN=CD＝AB＝1，

∵四边形EMCN是矩形，

∴∠NEM=90°，

∴∠MEG+∠GEN=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠FEN+∠GEN=90°，

∴∠MEG=∠FEN，

∵∠EMG=∠FNE=90°，

∴△EMG∽△ENF，

∴，

即NF=2MG，

设MG=x，则NF=2x，CG=2-x，CF=1+2x，

∵CG=CF，

∴2-x=1+2x，

解得：x=，

∴MG=，

在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG==，

∵EF=2EG，

∴EF=．

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