在平面直角坐标系中.抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A.B两点.点A在点B的左侧．(1)如图1.当k=1时.直接写出A.B两点的坐标,的条件下.点P为抛物线上的一个动点.且在直线AB下方.试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标,(3)如图2.抛物线y=x2+与x轴交于点C.D两点.抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x²+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．

分析（1）将k=1代入抛物线解析式和直线解析式，联立方程组，即可求出交点A、B的坐标；
（2）过点P做y轴平行线，将三角形ABP分割成两个小三角形，以PF为底，则两个三角形高的和为AB两点的水平距离，即可求出三角形面积；
（3）将图形折叠，求出直线与翻折后的抛物线相切的情况，联立方程组，求出k值，结合k＞0，即可求出k的取值范围．

解答解：（1）当k=1时，抛物线的解析式为y=x²-1，直线的解析式为y=x+1，
联立直线与抛物线，得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得x₁=-1，x₂=2，
当x=-1时，y-x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）；

（2）设P（x，x²-1）如下图，

过点P作PF∥y轴，交直线AB于F，
则F（x，x+1），
PF=y_F-y_P=（x+1）-（x²-1）=-x²+x+2，
S_△ABP=S_△PFA+S_△PFB=$\frac{1}{2}$PF（x_F-x_A）+$\frac{1}{2}$PF（x_B-x_F）$\frac{3}{2}$PF，
S_△ABP=$\frac{3}{2}$（-x²+x+2）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
∵当x=$\frac{1}{2}$时，y_P=（$\frac{1}{2}$）²-1=-$\frac{3}{4}$，
∴△ABP面积的最大值为$\frac{27}{8}$，
此时点P的坐标（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；

（3）如下图：

令二次函数y=0，
x²+（k-1）x-k=0，
即：（x+k）（x-1）=0，
x=-k，或x=1，
C（-k，0），D（1，0），
直线y=kx+1过（0，1），
将抛物线y=x²+（k-1）x-k关于x轴对称，
得：y=-x²-（k-1）x+k
联立直线y=kx+1，得：
x²+（2k-1）x+1-k=0
△=（2k-1）²-4（1-k）=0
得：k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍）或k=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵k＞0，
∴0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵直线y=kx+1经过点C（-1，0）时，k=1，
∴由图象可知，0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞1时，直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点．

点评题目考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，结合三角形面积的求解及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生的综合压轴题的水平．

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