Question

如图1，已知A（a，0），B（0，b）．
（1）当a、b满足a²-8a+b²-8b+32=0时，求∠BAO的度数；
（2）如图1，在（1）的条件下，点C为线段AB上一点（BC＞CA），以点C为直角顶点，OC为腰作等腰Rt△OCD，连接BD，求证：∠BDO=∠BCO；
（3）如图2，△ABO的两条角平分线AE、BF交于点Q，若△ABQ的面积为24，求四边形AFEB的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据平方值的非负性质即可求得a、b的值，即可解题；
（2）过C作EF∥OB交OA于F，交BD延长线于点E，易证∠COF=∠DCE，即可证明△COF≌△DCE，可得CE=OF，即可求得EF=OB，即可证明四边形OFEB为矩形，即可求得∠BDO=∠DOF，易证∠DOF=∠BCO，即可解题；
（3）过E作EG⊥BF交AB于G，过F作FH⊥AE分别交AE、AB于M、H，过H作HN⊥QG于N点，易证BE=BG，即可证明△BQE≌△BGQ，同理可得△AQH≌△AQF，易证S_△EQF=S_△GQH，可得S_△AQB=S_△BQE+S_△AQF+S_△EQF，即可求得四边形AFEB的面积，即可解题．

解答：解：（1）∵a²-8a+b²-8b+32=0，
∴a²-8a+16+b²-8b+16=0，即（a-4）²+（b-4）²=0，
∴a=b=4，
∴∠BAO=45°；
（2）过C作EF∥OB交OA于F，交BD延长线于点E，

则∠OFC=∠CED=90°，
∵∠OCF+∠COF=90°，∠OCF+∠DCE=90°，
∴∠COF=∠DCE，
在△COF和△DCE中，

∠E=∠OFC=90° ∠COF=∠DCE CD=OC

，
∴△COF≌△DCE，（AAS）
∴CE=OF，
∵∠BAO=45°，∠CFA=90°，
∴AF=CF，
∴EF=CE+CF=OF+AF=OA=OB，
∴四边形OFEB为矩形，
∴BD∥OA，
∴∠BDO=∠DOF，
∵∠DOF=∠COD+∠COF，∠BCO=∠BAO+∠COF，∠COD=∠BAO=45°，
∴∠DOF=∠BCO，
∴∠BDO=∠BCO．
（3）过E作EG⊥BF交AB于G，过F作FH⊥AE分别交AE、AB于M、H，过H作HN⊥QG于N点，

∵BF平分∠ABO，EG⊥BQ，
∴BQ是EG垂直平分线，
∴BE=BG，
在△BQE和△BGQ中，

BE=BG ∠FBE=∠FBG BQ=BQ

，
∴△BQE≌△BGQ，（SAS）
同理△AQH≌△AQF，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°．
∵BF平分∠OBA，AE平分∠OAB，
∴∠ABQ+∠BAQ=45°，
∴∠GQH=∠HQM=45°，
∴四边形QMHN是矩形，
∵FH⊥AE，
∴QM=HM，
∴四边形QMHN是正方形，
∴NH=HM，
∵HM=FM，
∴MF=HN，
∴S_△EQF=S_△GQH，
∴S_△AQB=S_△BQE+S_△AQF+S_△EQF=24，
∴S_{四边形AFEB}=24×2=48．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△COF≌△DCE、△BQE≌△BGQ和△AQH≌△AQF是解题的关键．