Question

【题目】阅读理解

在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQQF=DQQE．你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q（0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．

（1）填空：AB= ；

（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：与的值是否相等？试说明理由．

（3）①求证：AQ2=ADAE﹣DQQE；

②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）相等（3）①见详解；②≤mn≤2.

【解析】

（1）如图1，连接BQ，由点Q（0，1）是等边△ABC的重心，得到AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠DAF=∠FAE，根据相似三角形的性质得到=，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；
（3）①由相似三角形的性质得到，根据线段的和差得到ADAE=（AQ+QF）AQ，化简即可得到结论；②如图2，过点E作ET⊥AB于T，解直角三角形得到ET=AEsin60°=b，求得S△ADE=ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，根据相似三角形的性质得到，得到，当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，根据三角形的面积得到≤ab≤6，代入化简即可得到结论．

（1）如图1，连接BQ，∵点Q（0，1）是等边△ABC的重心，

∴AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，∴AO=3，∴AB=sin60°AO=2；

故答案为：2；

（2）相等，

理由：∵AO为等边△ABC的高，∴AO平分∠BAC，∴∠DAF=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，

∴△ADQ∽△AFE，∴=，∵∠QEF=∠OAE，∠AFE=∠QFE，

∴△AFE∽△QEF，∴，∴=；

（3）①∵△ADQ∽△AFE，∴=，∴ADAE=AFAQ，即ADAE=（AQ+QF）AQ，

∴ADAE=AQ2+AQQF，∵AQQF=DQQE，∴ADAE=AQ2+DQQE，即AQ2=ADAE﹣DQQE；

②如图2，过点E作ET⊥AB于T，在Rt△AET中，∠EAT=60°，ET=AEsin60°=b，S△ADE=ADET=ADAE=ADAE=ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S△ADE最小，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，又∵S△ABC=×（2）2=3，∴，

当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S△ADE最大，

∴S△ADE=S△ABC=×3=，∴≤ab≤，

∴≤ab≤，，由①证得：AQ/span>2=ADAE﹣DQQE，即22=ab﹣mn，

∴ab=mn+4，∴≤mn+4≤6，即≤mn≤2．