（1）如图 1， MON 的边 MO ⊥ AB ，边 ON 过点 C ，求 AO 的长；

（2）如图 2，将图 1 中的 MON 向右平移，MON 的两边分别与 ABC 的边 AC 、BC

相交于点 E 、 F ，连接 EF ，若 OEF 是直角三角形，求 AO 的长；

（3）在（2）的条件下，MON 与 ABC 重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出 最大值，若不存在，请说明理由．

图 1 图 2 备用图

我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．

（定理证明）

已知：△ABC（如图①）．

求证：∠A+∠B+∠C=180°．

（定理推论）如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（初步运用）如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．

（1）若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB= ；

（2）若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB= ．

（拓展延伸）如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．

（1）若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= ；

（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为 ；

（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN．

【题目】如果自然数m使得作竖式加法时对应的每个数位都不产生进位，则称m为“幸运数”.

例如：12，321都是“幸运数”，理由是12+13+14及321+322+323每个数位都不产生进位；50，123都不是“幸运数”，理由是50+51+52及123+124+125十位或个位分别产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“幸运数”？请说明理由；

（2）求出三位数中小于200且是3的倍数的“幸运数”．

【题目】如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P( , ) ，Q( , ) 是图形 W 上的任意两点，若的最大值为 m ，则

图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx m ；若的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的

投影长度为 ly n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx 4 ；在 y 轴上的 投影长度为 ly 3 ．

（1）已知点 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，

则 lx ， ly ；

（2）已知点 C (, 0) ，点 D 在直线 y x 1(x 0) 上，若图形 W 为 OCD ，当 lx ly

时，求点 D 的坐标；

（3 ）若图形 W 为函数 y x 2(a x b) 的图象，其中 (0 a b) ，当该图形满足

lx ly 1时，请直接写出 a 的取值范围．

图 1 图 2

（1）六边形 ABCDEF 每一个内角的度数是 ；

（2）在图 1 中，若 AF 2 ，AB 4 ，BC 3 ，CD 1 ，则 DE ，EF ；

（3）如图 2，在（2）的条件下，若 M 、N 分别为边 AF 、 AB 的中点，连接 CM 、DN交于点 G ，求的值．

图 1 图 2

（1）学校至多可购买多少个足球?

（2）为了鼓励更多班级参与运动，学校决定在计划经费内，按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品．购买奖品时正好赶上商场对商品价格进行调整，足球单价上涨了a%，篮球单价下降了 a%，最终恰好比计划经费的最大值节余了196元，求a的值．

（1）求证： CE 是⊙ O 的切线；

（2）若 tan ABC ，BD 4，求CD 的长．

（1）在网格中画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1；

（2）在网格中画出△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2；

（3）在网格中画出将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90度得到的△AB3C3；

（4）在图中探究并求得△ABC的面积= （直接写出结果）．