【题目】如图，在中，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接．

求证:；

当时，求的度数；

点是的外心，当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，直接写出点运动的路径的长，

根据以上信息回答下列问题:

(1)训练后学生成绩统计表中,并补充完成下表:

(2)若跳远成绩9分及以上为优秀,估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少?

(3)经调查,经过训练后得到9分的五名同学中,有三名男生和两名女生,王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告,请用列表或画树状图的方法,求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.

（1）求第五个台阶上的数x是多少？

（2）求前21个台阶上的数的和是多少？

（3）发现：数的排列有一定的规律，第n个﹣2出现在第　 　个台阶上；

（4）拓展：如果倩倩小同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上第二个台阶的方法有2种：1+1＝2或2＝2，上第三个台阶的方祛有3种：1+1+1＝3、1+2＝3或2+1＝3，…，她上第五个台阶的方法可以有　 　种．

【题目】在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度，圆心角是扇形按图中的方式摆放，动点从原点出发，沿着“半径弧弧半径半径...”的曲线运动，若点在线段上运动的速度为每秒个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第秒运动到点(为自然数)，则的坐标是___________________；的坐标是_____________________．

方程中的和表示的意义，下列说法错误的是（ ）

A.表示甲队每天修路的长度B.表示乙队每天修路的长度

C.表示甲队修米所用的时间D.表示乙队修米所用的时间

A.平均数变小，方差变小B.平均数变大，方差变大

C.平均数变大，方差不变D.平均数变大，方差变小

（1）概念理解：

如图1，四边形中，为的中点，，是边上一点，满足，试判断是否为四边形的准中位线，并说明理由．

（2）问题探究：

如图2，中，，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发向点运动，动点以每秒6个单位的速度，从点出发沿射线运动，当点运动至点时，两点同时停止运动．为线段上任意一点，连接并延长，射线与点构成的四边形的两边分别相交于点，设运动时间为．问为何值时，为点构成的四边形的准中位线．

（3）应用拓展：

如图3，为四边形的准中位线，，延长分别与，的延长线交于点，请找出图中与相等的角并证明．

【题目】为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买两种型号的口罩供班级学生使用，已知型口罩每包价格元，型口罩每包价格比型少4元，180元钱购买的型口罩比型口罩少12包．

（1）求的值；

（2）经与商家协商，购买型口罩价格可以优惠，其中每包价格（元）和购买数量（包）的函数关系如图所示，型口罩一律按原价销售．

①求关于的函数解析式；

②若家委会计划购买型、型共计100包，其中型不少于30包，且不超过60包．问购买型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？

【题目】如图，的网格中，均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）在图1中找一格点，使得为等腰三角形（找到一个即可）；

（2）在图2中作出的角平分线．

【题目】疫情期间部分学生选择在家用电视观看网络课程，为了保护眼睛，电视机的安装高度有一定的要求．如图所示，小嘉家的壁挂电视机的安装高度为1米，电视的中心位置（的中点）比平视视线低（这样观看眼睛最不容易疲劳），电视机宽度为，眼到凳子平面的高度为．

（1）求小嘉应选用凳子的高度；

（2）若看电视的视角为时，观看感最好，求此时凳子中心到墙的距离（电视机的厚度忽略不计）．（参考数据：，，）