Question

已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点P(3,1)，其左、右焦点分别为F₁，F₂，且·＝－6.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若M，N是直线x＝5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

Answer 1

 (1)设点F₁，F₂的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c>0)，则＝(3＋c,1)，＝(3－c,1)，

故＝(3＋c)(3－c)＋1＝10－c²＝－6，可得c＝4，所以2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝＝6，

故a＝3，b²＝a²－c²＝18－16＝2，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)设M，N的坐标分别为(5，m)，(5，n)，则＝(9，m)，＝(1，n)，又可得＝9＋mn＝0，即mn＝－9，又圆C的圆心为，半径为，故圆C的方程为(x－5)²＋

即(x－5)²＋y²－(m＋n)y＋mn＝0，

也就是(x－5)²＋y²－(m＋n)y－9＝0，

令y＝0，可得x＝8或2，

故圆C必过定点(8,0)和(2,0)．