Question

给出以下结论：
①直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，若l₁⊥l₂，则|α₁-α₂|=90°；
②对任意角θ，向量

e1

=（cosθ，sinθ）与

e2

=（cosθ-

3

sinθ，

3

cosθ+sinθ）的夹角都为

π

3

；
③若△ABC满足

a

cosB

=

b

cosA

，则△ABC一定是等腰三角形；
④对任意的正数a，b，都有1＜

a + b

a+b

≤

2

．
其中所有正确结论的编号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，l₁⊥l₂，根据倾斜角的范围，可得|α₁-α₂|=90°；
②对任意角θ，求出向量

e1

、

e2

的夹角的余弦值，即可得出结论；
③若△ABC满足

a

cosB

=

b

cosA

，则

sinA

cosB

=

sinB

cosA

，可得A=B或A+B=

π

2

；
④对任意的正数a，b，都有1＜

a + b

a+b

≤

2

，即证明

a

+

b

＞

a+b

，且

a

+

b

≤

2

•

a+b

，即证明2

ab

＞0且2

ab

≤a+b．

解答： 解：①直线l₁，l₂的倾斜角分别为α₁，α₂，l₁⊥l₂，根据倾斜角的范围，可得|α₁-α₂|=90°；
②对任意角θ，向量

e1

=（cosθ，sinθ）与

e2

=（cosθ-

3

sinθ，

3

cosθ+sinθ）的夹角的余弦值为

1

1• 1+3

=

1

2

，故夹角为

π

3

，正确；
③若△ABC满足

a

cosB

=

b

cosA

，则

sinA

cosB

=

sinB

cosA

，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=

π

2

，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故不正确；
④对任意的正数a，b，都有1＜

a + b

a+b

≤

2

，即证明

a

+

b

＞

a+b

，且

a

+

b

≤

2

•

a+b

，即证明2

ab

＞0且2

ab

≤a+b，成立，故正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点多，要细心认真．