Question

已知集合M={y|y=

x2+kx+1

x2+x+1

}任取a，b，c∈M以a，b，c为长度的线段都能构成三角形，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：由x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，可得f（x）=

x2+kx+1

x2+x+1

＞0?x²+kx+1＞0?△=k²-4＜0，解得-2＜k＜2．当x=0时，f（0）=1＞0恒成立；当x＞0时，f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

，对k分类讨论，利用基本不等式的性质和三角形三边大小关系即可得出．对x＜0同样得出．

解答： 解：∵x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，∴f（x）=

x2+kx+1

x2+x+1

＞0?x²+kx+1＞0?△=k²-4＜0，解得-2＜k＜2．
当x=0时，f（0）=1＞0恒成立；
当x＞0时，f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

，当k=1时，f（x）=1，满足题意；
当2＞k＞1时，1＜f（x）≤1+

k-1

3

，由1+1＞1+

k-1

3

解得k＜4，∴1＜k＜2；
当-2＜k＜1时，

2+k

3

≤f(x)＜1，由2×

2+k

3

＞1，解得k＞-

1

2

．
综上当x＞0时，-

1

2

＜k＜2．
同理当x＜0时，可得-

1

2

＜k＜2．
故答案为：-

1

2

＜k＜2．

点评：本题考查了二次函数与判别式的关系、一元二次不等式的解法、组成三角形三边的大小关系、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．