Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=$\frac{1}{4}$．
（1）求b的值；
（2）求cosC的值．
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理即可解得b的值，
（2）由余弦定理，即可计算求得cosC的值，
（3）结合B是△ABC的内角，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，
得：b²=2²+3²-2×$2×3×\frac{1}{4}$=10，
可得：b=$\sqrt{10}$．
（2）∵a=2，c=3，b=$\sqrt{10}$．
∴由余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4+10-9}{2×2×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
（3）∵cosB=$\frac{1}{4}$，且B是△ABC的内角，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．