Question

若函数y=f（x）在区间（a，b）上是增函数，函数y=g（x）在区间（a，b）上是减函数，试判断函数y=f（x）-g（x）在区间（a，b）上的增减性；如果是y=f（x）+g（x）那么增减性又如何？

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（a，b），且x₁＜x₂，根据f（x），g（x）在（a，b）上的单调性判断y₁-y₂=f（x₁）-g（x₁）-[f（x₂）-g（x₂）]和y₁-y₂=f（x₁）+g（x₁）-[f（x₂）+g（x₂）]的符号即可．

解答： 解：设x₁，x₂∈（a，b），且x₁＜x₂，则：
y₁-y₂=f（x₁）-g（x₁）-f（x₂）+g（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₂）-g（x₁）；
∵f（x）在（a，b）上是增函数，g（x）在（a，b）上是减函数；
又x₁＜x₂；
∴f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂）；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，g（x₂）-g（x₁）＜0；
∴y₁＜y₂；
∴函数y=f（x）-g（x）在（a，b）上是增函数；
如果是函数y=f（x）+g（x），则增减性不能判断，原因是：
y₁-y₂=f（x₁）+g（x₁）-f（x₂）-g（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）；2
由前面知，f（x₁）-f（x₂）＜0，g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴不能判断y₁-y₂的符号，所以该函数单调性不能判断．

点评：考查函数单调性的定义，以及根据函数单调性的定义证明函数的单调性．