Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，函数g（x）=log_ax+x-4的零点为n，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用函数的零点可得a^m=4-m，log_an=4-n．再利用互为反函数的性质可得m+n=4，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵a＞0且a≠1，函数f（x）=a^x+x-4的零点为m，∴a^m+m-4=0；
函数g（x）=log_ax+x-4的零点为n，∴log_an+n-4=0．
∴a^m=4-m，log_an=4-n．
∴m+n=4．
则

1

m

+

1

n

=

1

4

（m+n）(

1

m

+

1

n

)=

1

4

（2+

n

m

+

m

n

）≥

1

4

(2+2

n m • m n

)=1，当且仅当m=n=2时取等号．
故答案为：1．

点评：本题考查了函数的零点、互为反函数的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．