Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，异面直线BC₁、A₁D所成的角的大小为

 

，异面直线BC₁、AC所成的角的大小为

 

；直线BC₁与平面ABCD、ACC₁A₁所成的角的大小分别为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：由BC₁∥AD₁，AD₁⊥A₁D，能求出异面直线BC₁、A₁D所成的角的大小；利用AC∥A₁C₁，且A₁C₁=BC₁=A₁B，能求出异面直线BC₁、AC所成的角的大小为60°；由C₁C⊥平面ABCD，知∠C₁BC是直线BC₁与平面ABCD所成的角，由此能求出直线BC₁与平面ABCD所成的角的大小；连接BD交AC于点O，连结C₁O，∠BC₁O是直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角的大小．

解答： 解：∵BC₁∥AD₁，AD₁⊥A₁D，
∴异面直线BC₁、A₁D所成的角的大小为90°；
∵AC∥A₁C₁，且A₁C₁=BC₁=A₁B，
∴异面直线BC₁、AC所成的角的大小为60°；
∵C₁C⊥平面ABCD，
∴∠C₁BC是直线BC₁与平面ABCD所成的角，
∵∠C₁BC=45°，∴直线BC₁与平面ABCD所成的角的大小为45°，
连接BD交AC于点O，连结C₁O，
由已知得BO⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BC₁O是直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角，
∵BO=

1

2

BC1，∴sin∠BC1O=

1

2

，
∴∠BC₁O=30°，即直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为30°．
故答案为：90°；60°；45°，30°．

点评：本题考查空间角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．