Question

11．已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数$a+\frac{4}{b}$，$b+\frac{9}{c}$，$c+\frac{16}{a}$（　　）

• A． 都大于6
• B． 至少有一个不大于6
• C． 都小于6
• D． 至少有一个不小于6

Answer 1

分析 利用反证法，即可得出结论．

解答 解：设$a+\frac{4}{b}$，$b+\frac{9}{c}$，$c+\frac{16}{a}$都大于6，
则$a+\frac{4}{b}$+$b+\frac{9}{c}$+$c+\frac{16}{a}$＜18，
利用基本不等式可得$a+\frac{4}{b}$+$b+\frac{9}{c}$+$c+\frac{16}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{16}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{4}{b}}$+2$\sqrt{c•\frac{9}{c}}$=8+4+6=18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故下列三个数$a+\frac{4}{b}$，$b+\frac{9}{c}$，$c+\frac{16}{a}$至少有一个不小于6，
故选：D

点评 本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，正确运用反证法是关键．