Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，计算S₁，S₂，S₃，由此推测计算S_n的公式，并给出证明．

Answer 1

分析 先根据数列的递推公式，代值计算即可，由此得到数列的通项公式，证明方法一，根据递推公式可得{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首项为-1，公差为-1的等差数列，
方法二．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：由a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，即S_n+1=$\frac{{S}_{n}}{1-{S}_{n}}$，
∴S₁=-1，S₂=-$\frac{1}{2}$，S₃=-$\frac{1}{3}$，由此推测计算S_n=-$\frac{1}{n}$，
证明方法一：由S_n+1-S_n=S_nS_n+1，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，S_n≠0，
∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
证明方法二（数学归纳法），
①当n=1时，S₁=a₁=-1，右边=-1，等式成立，
②假设当n=k时成立，即S_k=-$\frac{1}{k}$，
那么当n=k+1时，S_k+1=$\frac{{S}_{k}}{1-{S}_{k}}$=$\frac{-\frac{1}{k}}{1-（-\frac{1}{k}）}$=-$\frac{1}{k+1}$，
∴当n=k+时，等式也成立，
由①②可得，对任意n∈N*，S_n=-$\frac{1}{n}$成立

点评 本题考查了数学的递推公式和数学归纳法，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．