Question

2．在等差数列{a_n}中，已知首项a₁＞0，公差d＞0．若a₁+a₂≤10，a₂+a₃≥12，则-3a₁+a₅的最小值为13．

Answer 1

分析 易得a₁+a₂≤10，a₂+a₃≥12，待定系数可得-3a₁+a₅=-$\frac{1}{2}$（2a₁+d）+$\frac{3}{2}$（2a₁+3d），由不等式的性质可得．

解答 解：∵在等差数列{a_n}中，已知首项a₁＞0，公差d＞0，
又a₁+a₂≤10，a₂+a₃≥12，
∴2a₁+d≤10，2a₁+3d≤12，
∴-3a₁+a₅=-2a₁+4d=-x（2a₁+d）+y（2a₁+3d）=2（y-x）a₁+（3y-x）d，
∴2（y-x）=-2，3y-x=4，解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，
∴-3a₁+a₅=-$\frac{1}{2}$（2a₁+d）+$\frac{3}{2}$（2a₁+3d）≤-$\frac{1}{2}$×10+$\frac{3}{2}$×12=13．
故答案为：13．

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及不等式的性质和整体的思想，属中档题．