Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x²-2x-3，若方程f（x）=a有两个根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-4，4]
• B、[-3，0）∪（0，3]∪{-4，4}
• C、[-3，3]∪{-4，4}
• D、（-4，4）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，然后根据函数的图象利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x²-2x-3，
∴f（-x）=x²+2x-3=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-x²-2x+3，
则f（x）=

x2-2x-3，x＞0 0，x=0 -x2-2x+3，x＜0

，
作出函数f（x）的图象如图：
要使f（x）=a有两个根，
则a=4或a=-4，0＜a≤3或-3≤a＜0，
即实数a的取值范围是[-3，0）∪（0，3]∪{-4，4}，
故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数的奇偶性求出函数的表达式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．