Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=

3

2

．
（Ⅰ）求角C的取值范围；
（Ⅱ）求4sinCcos（C+

π

6

）的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据正弦定理分别求出sinC的取值范围即可求角C的取值范围；
（Ⅱ利用三角函数的公式进行化简，即可求4sinCcos（C+

π

6

）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理，得

1

sin?B

=

3 2

sin?C

，sinC=

3

2

sin?B．
由0＜sinB≤1，得0＜sinC≤

3

2

，
又b＞c，故C为锐角，
∴0＜C≤

π

3

．
（Ⅱ）4sinCcos（C+

π

6

）=4sinC（

3

2

cosC-

1

2

sinC）=2

3

sin?Ccos?C-2sin?2C=

3

sin?2C-1+cos?C=2sin?(2C+

π

6

)-1，
由0＜C≤

π

3

，
得

π

6

＜2C+

π

6

≤

5π

6

，
故sin?(2C+

π

6

)≥

1

2

，
∴4sinCcos（C+

π

6

）≥2×

1

2

-1=0（当C=

π

3

时取到等号）
∴4sinCcos（C+

π

6

）的最小值是0．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，利用正弦定理求出C的取值范围是解决本题的关键，考查学生的计算能力．