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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图所示，把一些长度均为4米（PA+PB=4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k
    x+y
    		x2+y2
    ，若k越大，则“舒适感”越好．
    （Ⅰ）求“舒适感”k的取值范围；
    （Ⅱ）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH=t，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）．
    考点：函数解析式的求解及常用方法
    专题：函数的性质及应用
    分析：（Ⅰ）利用不等式的知识求出k=
    x+y
    		x2+y2
    的取值范围；
    （Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的结论，得y与t的关系式，讨论H点的位置，求出t的取值范围，从而求出y的最大值ymax．
    解答： 解：（Ⅰ）k=
    x+y
    		x2+y2
    =
    x2+2xy+y2
    x2+y2
    =
    		1+
    2xy
    x2+y2
    ，
    ∵x2+y2≥2xy，∴
    2xy
    x2+y2
    ≤1，（当x=y时，取“=”），
    ∴k≤
    		2
    ；
    ∵
    2xy
    x2+y2
    ＞0，
    ∴k＞1；
    ∴k的取值范围是（1，
    		2
    ]；
    （Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的结论，得
    		(
    1
    2
    y+t)    2    +y2
    +
    		(
    1
    2
    y-t)    2    +y2
    =4，
    ∴
    		(
    1
    2
    y+t)    2    +y2
    =4-
    		(
    1
    2
    y-t)    2    +y2
    ，
    两边平方，化简得y=4
    4-t2
    20-t2
    ，
    当H与M重合时，t=0；当H与A重合时，有PA=AB=y，∴y2+y2=（4-y）2，∴y=4
    		2
    -4，即t=2
    		2
    -2；
    ∴y=4
    		1-
    16
    20-t2
    （0≤t≤2
    		2
    -2）；
    ∵0≤t≤2
    		2
    -2，∴
    16
    20-t2
    ∈[
    4
    5
    ，2
    		2
    -2]；
    ∴1-
    16
    20-t2
    ∈[3-2
    		2
    ，
    1
    5
    ]，
    ∴ymax=
    4
    		5
    5
    ，此时t=0．
    点评：本题考查了求函数的定义域、值域以及函数的解析式和最值问题，是较难的题目．
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    π
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    π
    4
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    π
    3
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    π
    3
    )
    B、y=sin(-2x-
    π
    3
    )
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    π
    3
    )
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    π
    3
    )

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    		3
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    π
    6
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    .
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    a3a4
    .
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    .
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    msinθ
    .
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    π
    2
    ）．
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