Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数；又定义行列式

.

a1 a2 a3 a4

.

=a1a4-a2a3； 函数g(θ)=

.

sinθ 3-cosθ m sinθ

.

 （其中0≤θ≤

π

2

）．
（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；
（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，

π

2

]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；

解答： 解：（1）f（x）在（-∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，
g（θ）=sin²θ-m（3-cosθ）=-cos²θ+mcosθ-3m+1=-(cosθ-

m

2

)2+

m2

4

-3m+1，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（

m

2

≤0），cosθ=1（

m

2

≥1），cosθ=

m

2

(0＜

m

2

＜1)处取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，则有1-3m=4，m=-1，此时

m

2

=-

1

2

，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，则有-2m=4，m=-2，此时

m

2

=-1，不符合；
若cosθ=

m

2

，g（θ）=4，则有

m2

4

-3m+1=4，m=6+4

3

或m=6-4

3

，此时

m

2

=3+2

3

或3-2

3

，不符合；
综上，m=-1．
（2）∵f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（-2）=0，
又f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上均是增函数，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，

π

2

]恒成立，
当m＞

-1-cos2θ

3-cosθ

=

-(3-cosθ)2+6(3-cosθ)-10

3-cosθ

=-（3-cosθ）-（

10

3-cosθ

）+6=-[（3-cosθ）+（

10

3-cosθ

）]+6，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3-cosθ）+（

10

3-cosθ

）≥

19

3

，-[（3-cosθ）+（

10

3-cosθ

）]+6∈[-1，-

1

3

]，
此时，m＞-

1

3

；
当m＜

1-cos2θ

3-cosθ

=

-(3-cosθ)2+6(3-cosθ)-8

3-cosθ

=-（3-cosθ）-（

8

3-cosθ

）+6
=-[（3-cosθ）+（

8

3-cosθ

）]+6，
∴6≥（3-cosθ）+（

8

3-cosθ

）≥4

2

，-[（3-cosθ）+（

8

3-cosθ

）]+6∈[0，6-4

2

]，
此时，m＜0；
综上，m∈（-

1

3

，0）．

点评：本题考查函数的奇偶性及其应用、二次函数“对勾函数”的性质，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．