Question

3．在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，cos∠D=-$\frac{1}{7}$，AD=DC=2，
（Ⅰ）求 cos∠DAC 及AC 的长；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理和夹角公式计算即可；
（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系，二倍角公式诱导公式两角和与差的正弦公式，以及正弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理可得AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=4+4-2×2×2×（-$\frac{1}{7}$）=$\frac{64}{7}$，
即AC=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$，
则cos∠DAC=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-D{C}^{2}}{2•AD•AC}$=$\frac{\frac{64}{7}+4-4}{2×\frac{8\sqrt{7}}{7}×2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）cos∠DAC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin∠DAC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
∴sinB=sin（∠BAC+∠ACB）=sin（120°-∠DAC+60°-∠DCA）
=sin（∠DAC+∠DCA）=sin（2∠DAC）=2sin∠DAC•cos∠DAC=2×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sin∠BAC=sin（120°-∠DAC）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴sinB=sin（∠BAC+∠ACB）=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{5\sqrt{7}}{14}$+$\frac{\sqrt{7}}{14}$×$\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
由正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$，
∴BC=$\frac{\frac{8\sqrt{7}}{7}×\frac{3\sqrt{21}}{14}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$=3．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系，二倍角公式诱导公式两角和与差的正弦公式，以及正弦定理、余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．