如图.已知三棱柱ABC---A1B1C1的侧棱与底面垂直.AA1=AB=AC=1.AB⊥AC.M.N分别为CC1.BC的中点.点P为直线A1B1上一点.且满足$\overrightarrow{{A 1}P}=λ\overrightarrow{{A 1}{B 1}}$.(1)λ=$\frac{1}{2}$时.求直线PN与平面ABC所成角θ的正弦值 (2)若平面PMN与平面ABC所成锐二面角为450.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知三棱柱ABC---A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别为CC₁，BC的中点，点P为直线A₁B₁上一点，且满足$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，
（1）λ=$\frac{1}{2}$时，求直线PN与平面ABC所成角θ的正弦值
（2）若平面PMN与平面ABC所成锐二面角为45⁰，求λ的值．

分析（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出$\overrightarrow{PN}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），平面ABC的一个法向量，然后利用直线与平面所成角的计算公式求解即可．
（2）取平面ABC的一个法向量为，求出平面PMN的一个法向量，利用向量的夹角公式求出λ．

解答解：（1）建立以A点为空间坐标系原点，AB，AC，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（ 0，1，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）
λ=$\frac{1}{2}$，P（$\frac{1}{2}$，0，1），$\overrightarrow{PN}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1）
平面ABC法向量为$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{PN}\;，\;\overrightarrow{A{A_1}}＞}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
（2）设P（λ，0，1），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$-λ，$\frac{1}{2}$，-1），
设平面PMN法向量为$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}}\right.$，
取$\overrightarrow n=（3\;，\;1+2λ\;，\;2-2λ）$
平面ABC法向量为（0，0，1），
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{|{2-2λ}|}}{{1-\sqrt{{3^2}+{{（1+2λ）}^2}+{{（2-2λ）}^2}}}}=\frac{{|{2-2λ}|}}{{\sqrt{14-4λ+8{λ^2}}}}$，
∴$λ=-\frac{1}{2}$．

点评本题考查直线与平面所成角的应用，二面角的向量求法，考查空间想象能力以及计算能力．

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