Question

函数f（x）=2alog₂x+a•4^x+3在区间（

1

2

，1）上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＜-

  1

  2

• B、a＜-

  3

  2

• C、-

  3

  2

  ＜a＜-

  1

  2

• D、a＜-

  3

  4

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数和对数函数的性质判断函数f（x）的单调性，然后根据零点存在的定价条件解不等式f（

1

2

）f（1）＜0即可得到结论．

解答： 解：若a=0，则f（x）=3，没有零点，∴a=0不成立，
若a＜0，则函数f（x）=2alog₂x+a•4^x+3在区间（

1

2

，1）上单调递减，
若a＞0，则函数f（x）=2alog₂x+a•4^x+3在区间（

1

2

，1）上单调递增，
即函数f（x）=2alog₂x+a•4^x+3在区间（

1

2

，1）上是单调函数，
若在区间（

1

2

，1）上有零点，
则f（

1

2

）f（1）＜0，
即（2alog₂

1

2

+2a+3）（4a+3）＜0，
即3（4a+3）＜0，则a＜-

3

4

，
故选：D

点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质，判断函数的单调性是解决本题的关键．