Question

设数列{a_n}是首项为1，公比为q（q≠-1）的等比数列，若{

1

an+an+1

}是等差数列，则（

1

a2

+

1

a3

）+（

1

a3

+

1

a4

）+…+（

1

a2013

+

1

a2014

）=（　　）

• A、2012
• B、2013
• C、4024
• D、4026

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意知a_n=q^n-1，

3

an

-

3

an+1

=

1

an-1

-

1

an+2

，a_n=q^n-1代入解得q=1，a_n=1，（

1

a2

+

1

a3

）+（

1

a3

+

1

a4

）+…+（

1

a2013

+

1

a2014

）=

2+2+…+2

2012个

，由此能求出结果．

解答： 解：∵数列{a_n}是首项为1，公比为q（q≠-1）的等比数列，
∴a_n=q^n-1，
∵{

1

an+an+1

}是等差数列，
∴

2

an+an+1

=

1

an-1+an

+

1

an+1+an+2

，
即

3

an

-

3

an+1

=

1

an-1

-

1

an+2

，
a_n=q^n-1代入得，

3

qn-1

-

3

qn

=

1

qn-2

-

1

qn+1

，
整理，得3q²-3q=q³-1
解得q=1，a_n=1，
∴（

1

a2

+

1

a3

）+（

1

a3

+

1

a4

）+…+（

1

a2013

+

1

a2014

）
=

2+2+…+2

2012个

=2×2012=4024．
故选：C．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用．