Question

已知两点A（-1，0），B（-1，

3

）．O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC=120°，设

OC

=-3

OA

+λ

OB

（λ∈R），则λ=

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：先根据题意及向量加法的平行四边形法则，作出向量

OC

，找出表示

OC

的两基向量，由A（-1，0），B（-1，

3

）得∠AOB=60°，再利用∠AOC=120°可得平行四边形的特征，从而得到|

OC

|，最后利用向量数量积的计算公式获得λ的值．

解答： 解：如右图所示，作向量

OD

=-3

OA

=(3，0)，
则

OC

=-3

OA

+λ

OB

=

OD

+λ

OB

，
∵点C在第一象限，点B的坐标为（-1，

3

），∴∠OCD=∠AOB=60°，
又∵∠AOC=120°，∴∠COD=60°，
∴△COD为正三角形，∴|

OC

|=|

OD

|=3，
∵

OC

=(3，0)+λ(-1，

3

)=(3-λ，

3

λ)，
∴cos∠AOC=

OA • OC

| OA || OC |

=

(-1，0)•(3-λ， 3 λ)

1×3

，
即cos120°=

λ-3

3

=-

1

2

，得λ=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：1．本题考查了向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理及数量积的运算等，关键是如何作出和向量

OC

及加向量λ

OB

．
2．当然本题中求得|

OC

|=3后，还可根据向量的模长公式列出关于λ的一元二次方程，从而可求得λ的值，应注意根的取舍．