Question

9．已知x，y，a，b∈R⁺，且x+y=1，则$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$的最小值是（　　）

• A． （$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²
• B． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$
• C． $\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$
• D． a+b

Answer 1

分析 本题属于基本不等式常规题型--换“1”法的应用，求$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$的最小值即求（$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$）•（x+y）的最小值．

解答 解：由题意知：x+y=1 且x，y，a，b∈R⁺ 知：$\frac{ay}{x}＞0，\frac{bx}{y}＞0$，
$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$=（$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$）×1
=（$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$）•（x+y）
=a+b+$\frac{ay}{x}+\frac{bx}{y}$ 
≥a+b+2$\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）²
故本题答案为：A．

点评 注重换“1”法在基本不等式中的应用．