Question

17．某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人．为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如图．

（Ⅰ）应抽取男生多少人？并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间；
（Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率．

Answer 1

分析 （I）根据频率分布直方图可先求出应抽取男生人数，根据公式$\overline{{x}_{1}}{f}_{1}+\overline{{x}_{2}}{f}_{2}+…+\overline{{x}_{n}}{f}_{n}$可求平均阅读时间；
（Ⅱ）每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，读平均时间不少于2小时有3人，列举出基本事件的个数，可求解概率．

解答 解：（I）应抽取男生$150×\frac{25}{375}=10$人，…（2分）
该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为0.5×（0.40×0.25+0.80×0.75+0.32×1.25+0.24×1.75+0.16×2.25+0.08×2.75）=1.05，…（5分）
（Ⅱ）从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，…（6分）
其中读平均时间不少于2小时有3人，…（7分）
令这三人分别为A，B，C．另外三人为a，b，c，
设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为事件E，…（8分）
从中抽中的这两个人所有情况为（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种，…（10分）
这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的情况为（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c）共9种…（11分）
∴抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率为$P（E）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查概率与统计，涉及频率分布直方图，属基础题．