Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π
（Ⅰ）求ω和φ的值
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数y=f（x+$\frac{π}{24}$）-$\sqrt{2}$f（x+$\frac{π}{6}$）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求出ω和φ的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数y=f（x+$\frac{π}{24}$）-$\sqrt{2}$f（x+$\frac{π}{6}$）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
且图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}+φ=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\\{\frac{2π}{ω}=π}\end{array}\right.$，∴ω=2，φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）函数y=f（x+$\frac{π}{24}$）-$\sqrt{2}$f（x+$\frac{π}{6}$）=sin[2（x+$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{6}$]-$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\sqrt{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$ 时，函数y取得最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$ 时，函数y取得最大值为1，
故函数y的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．