Question

已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若是的一个极值点，且点，满足条件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若点是三个不同的点， 判断三点是否可以构成直角三
角形？请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）；点，，可构成直角三角形.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，将切点的横坐标1代入到中得到切线的斜率，代入到中得到切点的纵坐标，从而利用点斜式得到切线方程；第二问，先求函数的定义域，令，得到方程的根，将定义域断开，判断函数的单调性，从而求出函数极值；第三问，先排除几个特例情况，在一般情况中，要证明三角形为直角三角形，只需判断2边垂直，用向量垂直的充要条件证明即可.
试题解析：（1）， ，又，所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）（ⅰ）对于，定义域为．
当时，，，∴；
当时，；当时，，，∴
所以存在唯一的极值点，∴，则点为
（ⅱ）若，则，与条件不符，
从而得．同理可得．
若，则，与条件不符，从而得．
由上可得点，，两两不重合．


从而，点，，可构成直角三角形．