试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对
求导,将切点的横坐标1代入到
中得到切线的斜率,代入到
中得到切点的纵坐标,从而利用点斜式得到切线方程;第二问,先求函数的定义域,令
,得到方程的根,将定义域断开,判断函数的单调性,从而求出函数极值;第三问,先排除几个特例情况,在一般情况中,要证明三角形为直角三角形,只需判断2边垂直,用向量垂直的充要条件证明即可.
试题解析:(1)
,
,又
,所以曲线
在
处的切线方程为
,即
.
(2)(ⅰ)对于
,定义域为
.
当
时,
,
,∴
;
当
时,
;当
时,
,
,∴
所以
存在唯一的极值点
,∴
,则点
为
(ⅱ)若
,则
,与条件
不符,
从而得
.同理可得
.
若
,则
,与条件
不符,从而得
.
由上可得点
,
,
两两不重合.
从而
,点
,
,
可构成直角三角形.