Question

如图2，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥.（1）证明：⊥平面;

（2）求三棱锥的体积.

 

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积VM-CDE．

试题解析： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，

∴平面PCD⊥平面ABCD；

又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，

∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；

又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，

∴CF⊥平面MDF；

（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，

又易知∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=；

∵EF∥DC，∴，即，∴，∴，，

=，

∴

考点：空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间几何体的体积计算，逻辑推论证能力，运算求解能力