Question

8．已知中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上的双曲线经过点P（4，2），△PF₁F₂的内切圆与x轴相切于点Q（2$\sqrt{2}$，0），则双曲线的实轴长为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据三角形内切圆的性质结合双曲线的定义，求出2a，即可得到结论．

解答 解：中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上的双曲线为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
作出对应的图象如图：设三个切点分别为A，B，C，
∵△PF₁F₂的内切圆与x轴相切于点Q（2$\sqrt{2}$，0），
∴|F₁Q|=|F₁C|=c+2$\sqrt{2}$，∴|F₂Q|=|F₂B|=c-2$\sqrt{2}$，
∴由双曲线的定义得||F₁P|-|F₂P|=|F₁C|-|F₂B|=c+2$\sqrt{2}$-（c-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$=2a，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的实轴长的计算，根据三角形内切圆的性质求出2a是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解．