Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=m$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$．
（1）m为何值时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$垂直？
（2）m为何值时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$平行？

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积为0，求出m的值；
（2）根据平面向量的共线定理，即可得出m的值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$）•（m$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）
=3m${\overrightarrow{a}}^{2}$+（5m-9）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-15${\overrightarrow{b}}^{2}$
=3m×3²+（5m-9）×3×2×cos60°-15×2²
=42m-87，
令42m-87=0，解得m=$\frac{29}{14}$，
∴当m=$\frac{29}{14}$时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$垂直；
（2）设$\overrightarrow{d}$=λ$\overrightarrow{c}$，
令m$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=λ（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$），
∴m$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=3λ$\overrightarrow{a}$+5λ$\overrightarrow{b}$，
令$\left\{\begin{array}{l}{m=3λ}\\{-3=5λ}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{9}{5}$，
∴当m=-$\frac{9}{5}$时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{d}$平行．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题目．