Question

设等差数列{a_n}满足

sin2a3cos2a6-sin2a6cos2a3

sin(a4+a5)

=1，公差d∈（-1，0），当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，求该数列首项a₁的取值范围（　　）

• A、（

  7π

  6

  ，

  4π

  3

  ）
• B、[

  7π

  6

  ，

  4π

  3

  ]
• C、（

  4π

  3

  ，

  3π

  2

  ）
• D、[

  4π

  3

  ，

  3π

  2

  ]

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出sin（a₃-a₆）=1，或sin（a₃+a₆）=0，由仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，推导出a1=-

17d

2

．由此能求出该数列首项a₁的取值范围．

解答： 解：∵等差数列{a_n}满足

sin2a3cos2a6-sin2a6cos2a3

sin(a4+a5)

=1，
∴（sina₃cosa₆-sina₆cosa₃）（sina₃cosa₆+sina₆cosa₃）
=sin（a₃+a₆）=（sina₃cosa₆+sina₆cosa₃），
∴sina₃cosa₆-sina₆cosa₃=1，
即sin（a₃-a₆）=1，或sin（a₃+a₆）=0（舍）
当sin（a₃-a₆）=1时，
∵a₃-a₆=-3d∈（0，3），a₃-a₆=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴-3d=

π

2

，d=-

π

6

．
∵Sn=na1+

n(n-1)d

2

=

d

2

n2+（a₁-

d

2

）n，
且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴-

a1- d 2

2× d 2

=9，化为a1=-

17d

2

．
∴a1=-

17

2

×(-

π

6

)=

17π

12

．
故选：C．

点评：本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．