Question

判断下列命题真假，真命题个数有（　　）个
①用秦九韶算法计算多项式f（x）=1+3x+2x²+4x³+5x⁴在x=0.3的值时，公进行了4次乘法和4次加法．
②在△ABC中，若a²tanB=b²tanA，则△ABC是等腰或直角三角形
③已知函数f（x）=cosx•sinx，若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
④若存在实数t₀，使得

a

=t₀

b

，则|

a

+

b

|=|

a

|+|

b

|．

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由f（x）=1+3x+2x²+4x³+5x⁴=（（（5x+4）x+2）x+3）x）+1，能判断①的正误；由正弦定理能判断②的正误；由函数f（x）=cosx•sinx=

1

2

sin2x能判断③的正误；若存在正实数t₀，使得

a

=t₀

b

，则|

a

+

b

|=|

a

|+|

b

|．

解答： 解：在①中，∵f（x）=1+3x+2x²+4x³+5x⁴=（（（5x+4）x+2）x+3）x）+1，
∴用秦九韶算法计算多项式f（x）=1+3x+2x²+4x³+5x⁴在x=0.3的值时，
公进行了4次乘法和4次加法，故①正确；
在②中，在△ABC中，∵a²tanB=b²tanA，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，
∴a²tanB=b²tanA，∴

sin2AsinB

cosB

=

sin2BsinA

cosA

，∴

sinA

cosB

=

sinB

cosA

，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=

π

2

，∴△ABC是等腰或直角三角形，故②正确；
在③中，∵函数f（x）=cosx•sinx=

1

2

sin2x，f（x₁）=-f（x₂），
∴x₁=2kπ-x₂，k∈Z，故③错误；
在④中，若存在正实数t₀，使得

a

=t₀

b

，则|

a

+

b

|=|

a

|+|

b

|，故④错误．
故选：C．

点评：本题考查命题真假的判断，涉及到秦九韶算法、三角函数、向量等知识点，是中档题．