Question

如果一个正方形的四个顶点都在三角形的三条边上，称该正方形是该三角形的内接正方形，若锐角△ABC的面积为S，求其内接正方形面积的最大值，并求此时正方形的边长．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：如图所示，过点A作AN⊥BC交GD于点M．设AN=h，正方形DCEF的边长CD=x，BC=a．利用平行线分线段成比例可得

h-x

h

=

x

a

，再利用S=

1

2

ah，可得x=

2S

h+ 2S h

，再利用基本不等式可得x的最大值，进而得到面积的最大值．

解答： 解：如图所示，
过点A作AN⊥BC交GD于点M．
设AN=h，正方形DCEF的边长CD=x，BC=a．
∵DC∥BC，则

h-x

h

=

x

a

，解得x=

ah

h+a

，
而S=

1

2

ah，∴a=

2S

h

，代入上式可得x=

2S

h+ 2S h

，
∴x≤

2S

2 2S

=

2S

2

，
∴正方形DCEF的面积=x²≤

1

2

S．当且仅当h=

2S

时取等号．

点评：本题考查了平行线分线段成比例的定理、正方形的面积、基本不等式，属于基础题．