Question

2．函数f（x）=lgx+$\frac{2}{lgx}$（0＜x＜1）的值域是$（-∞，-2\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由条件可知lgx＜0，从而由基本不等式得到$-lgx+\frac{2}{-lgx}≥2\sqrt{2}$，并且可得到lgx=$-\sqrt{2}$时取等号，这样便可求出f（x）的值域．

解答 解：0＜x＜1；
∴lgx＜0；
∴$lgx+\frac{2}{lgx}=-[（-lgx）+\frac{2}{-lgx}]≤-2\sqrt{2}$，当且仅当lgx=$-\sqrt{2}$时取“=”；
∴f（x）的值域为（-∞，$-2\sqrt{2}$]．
故答案为：$（-∞，-2\sqrt{2}]$．

点评 考查函数值域的概念及求法，对数函数的单调性，基本不等式的运用，应用基本不等式时，注意判断等号能否取到，以及不等式的性质．