Question

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（|cosx|）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）欲求实数a的值，只须求出切线斜率的值列出关于a的等式即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为0即可求得a；
（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，再根据导数求函数的单调性，从而可求出函数的最小值．

解答： 解：由题意得：f'（x）=（e^x）'•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）'
=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-

2

a

)(x+2)；
（1）由曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得f'（2）=0，即a•e2•(2-

2

a

)(2+2)=4ae2•

2a-2

a

=0，解得a=1；
（2）设|cosx|=t（0≤t≤1），则只需求当a＞0时，函数y=f（t）（0≤t≤1）的最小值．
令f'（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2，而a＞0，即

2

a

＞-2．
从而函数f（x）在（-∞，-2）和(

2

a

，+∞)上单调递增，在(-2，

2

a

)上单调递减．
当

2

a

≥1时，即0＜a≤2时，函数f（x）在[0，1]上为减函数，y_min=f（1）=（a-4）e；
当0＜

2

a

＜1，即 a＞2时，函数f（x）的极小值即为其在区间[0，1]上的最小值，ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

．
综上可知，当0＜a≤2时，函数f（|cosx|）的最小值为（a-4）e；当a＞2时，函数f（|cosx|）的最小值为-2e

2

a

．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题