Question

5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 可画出图形，根据正方形的面积为2可求出边长，结合图形，可得出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}）$，进行数量积的运算得出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=2-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$，可设$|\overrightarrow{AP}|=x，|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}-x$，从而得出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}={x}^{2}-\sqrt{2}x+2$，配方便可求出最小值．

解答 解：如图，$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}$；
正方形的面积为2，则边长为$\sqrt{2}$；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}）$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$
=$2-0-0-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$
=$2-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$；
设$|\overrightarrow{AP}|=x，0≤x≤\sqrt{2}$，则$|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}-x$；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=2-x（\sqrt{2}-x）$
=${x}^{2}-\sqrt{2}x+2$
=$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}$的最小值为$\frac{3}{2}$．
故选B．

点评 考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，配方法求最值．