Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点A(0,-1),且右焦点到右准线的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l,使l与椭圆交于不同两点M、N且满足|AM|=|AN|?若这样的直线存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

1、椭圆方程为+y²=1.
2、k∈(-1,0)∪(0,1).

(1)设椭圆方程为=1,由已知得b=1,=.
∴c=,a²=3.
∴椭圆方程为+y²=1.
(2)设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN中点P(x₀,y₀).
∴两式相减,得

∴k=-.                                                                  ①
又∵|AM|=|AN|,
∴AP⊥MN.
∴k_AP=-,即=-.                                                     ②
联立①②,解得
若直线l存在,则P在椭圆内部.
∴+y₀²<1,从而得k²<1.
∴-1<k<1且k≠0.
∴满足条件的直线l存在,且k∈(-1,0)∪(0,1).