Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=2，AB=4，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面DD₁E⊥平面CD₁E；
（Ⅱ）求直线BC与平面CD₁E所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过计算证得CE⊥DE，再由D₁D⊥CE，则CE⊥面D₁DE，由面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）过B作BH⊥面CED₁，垂足为H，连接CH，则∠BCH为直线BC与平面CD₁E所成角．由V_B-CD1E=V_D1-BCE，可求出高BH，即可求出所成角的正弦．

解答： （Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，AD=2，AB=4，
∴DE=CE=2

2

，
∵CD=4，∴CE⊥DE，
∵D₁D⊥面ABCD，∴D₁D⊥CE，
∴CE⊥面D₁DE，
又CE?面CED₁，
∴平面DD₁E⊥平面CD₁E；
（Ⅱ）过B作BH⊥面CED₁，垂足为H，连接CH，
则∠BCH为直线BC与平面CD₁E所成角．
∵CE⊥面D₁DE，∴CE⊥D₁E，
在直角△D₁DE中，D₁E=2

3

，
由V_B-CD1E=V_D1-BCE，
则

1

3

S_△CD1E•BH=

1

3

S_△BCE•D₁D，
即

1

2

×2

2

×2

3

•BH=

1

2

×4×2，解得BH=

6

3

，
故直线BC与平面CD₁E所成角的正弦值为

6 3

2

=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定和性质、平面与平面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，考查等积法，求三棱锥的高，考查运算能力，属于中档题．