Question

9．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（1）设g（x）=（a-2）x，若$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
（2）定义：若函数m（x）的图象上存在两点A、B，设线段AB的中点为P（x₀，y₀），若m（x）在点Q（x₀，m（x₀））处的切线l与直线AB平行或重合，则函数m（x）是“中值平衡函数”，切线l叫做函数m（x）的“中值平衡切线”．试判断函数f（x）是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数f（x）的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得（x-lnx）a≤x²-2x，记F（x）=x-lnx，求出导数，求得最小值1，运用参数分离可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围；
（2）求出f（x）的导数，假设f（x）是“中值平衡函数”，则存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂），求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得$\frac{2a}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{a（ln{x_2}-ln{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，讨论a是否为0，构造函数求出导数，判断单调性，结合新定义，即可得到所求“中值平衡切线”的条数．

解答 解：（1）由f（x）≥g（x），得$（x-lnx）a≤x_{\;}^2-2x$，
记F（x）=x-lnx（x＞0），${F^'}（x）=\frac{x-1}{x}（x＞0）$，
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；
所以F（x）≥F（1）=1＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，记$G（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}，x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，
∴${G^'}（x）=\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{{{{（x-lnx）}^2}}}$，∵$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，
∴x-2lnx+2=2（1-lnx）+x≥x＞0，
∴$x∈[{\frac{1}{e}，1}）$时，G′（x）＜0，G（x）递减；
x∈（1，e]时，G′（x）＞0，G（x）递增；
∴G（x）_min=G（1）=-1，∴a≤G（x）_min=-1，
故实数a的取值范围为（-∞，-1]；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
${f^'}（x）=\frac{a}{x}+2x-4=\frac{{2{x^2}-4x+a}}{x}$，
若函数f（x）是“中值平衡函数”，
则存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂）
使得${f^'}（{x_0}）=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
即$\frac{2a}{{{x_1}+{x_2}}}+{x_1}+{x_2}-4=\frac{{a（ln{x_2}-ln{x_1}）+x_2^2-x_1^2-4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
∴$\frac{2a}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{a（ln{x_2}-ln{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$（※）
①当a=0时，（※）对任意的0＜x₁＜x₂都成立，
所以函数f（x）是“中值平衡函数”，且函数f（x）的“中值平衡切线”有无数条；
②当a≠0时，有$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（1，+∞）上有解，
记函数$h（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}，t＞1$，
则${h^'}（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，
所以函数h（t）在区间（1，+∞）递增，
∵h（1）=0，所以当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，
即方程$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（1，+∞）上无解，即函数f（x）不是“中值平衡函数”；
综上所述，当a=0时，函数f（x）是“中值平衡函数”，
且函数f（x）的“中值平衡切线”有无数条；
当a≠0时，f（x）不是“中值平衡函数”．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数，考查新定义的理解和运用，注意运用分类讨论的思想方法，考查构造函数的方法，属于中档题．