Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【解】　(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由得：(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，

∴Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＝0，即m²＝3＋4k².

设P(x_p，y_p)，

∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，

恒成立，故，

即t＝1.

∴存在点M(1,0)符合题意．