Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=my-3交椭圆C于P、Q两点，求△PQF₂面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q两点纵坐标的和与积，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求出焦点F₂到直线PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）根据题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ x=my-3\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-6my+7=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{7}{{m}^{2}+2}$，
由△=36m²-28（m²+2）＞0，解得$m＜-\sqrt{7}$或m$＞\sqrt{7}$．
则$|PQ|=\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{1+{m^2}}•\frac{{\sqrt{8{m^2}-56}}}{{{m^2}+2}}$，
又焦点F₂到直线PQ的距离$d=\frac{4}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，
∴${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{1}{2}|{PQ}|•d=\frac{{4\sqrt{2{m^2}-14}}}{{{m^2}+2}}$．
令m²-7=t²，m²＞7，t＞0，
则${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{{4\sqrt{2}t}}{{{t^2}+9}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{t+\frac{9}{t}}}≤\frac{{4\sqrt{2}}}{{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
当且仅当t=3，即m²=16，m=±4取得最大值${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求函数最值，考查计算能力，是中档题．