Question

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.

（1）求证：∥平面；（2）求证：；

（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

 

 

Answer 1

（1)祥见解析；（2）祥见解析；（3）存在满足条件的.

【解析】

试题分析：（1）O是AD1的中点，连接OE，由中位线定理可得EO∥BD1，再由线面平行的判定定理可得BD1∥平面A1DE；

（2）由正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ADD1A1，进而线面垂直的性质定理得到AB⊥A1D，结合A1D⊥AD1及线面垂直的判定定理，可得A1D⊥平面AD1E，进而D1E⊥A1D；

（3）以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设M（1，a，0）（0≤a≤2），分别求出平面D1MC的法向量和平面MCD的一个法向量，根据二面角D1-MC-D的大小为，结合向量夹角公式，构造关于a的方程，解方程可得M点的坐标，进而求出AM长．

试题解析：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，

所以，//平面.

（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，

而，所以平面，又平面，所以.

（3）存在满足条件的.

依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，所，

易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，

则，又二面角的大小为，

所以，解得.

故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.

考点：1．空间中直线与直线之间的位置关系；２．直线与平面平行的判定；３．空间向量求平面间的夹角.