Question

已知f（x）=-x³+ax在（0，1）是增函数，求实数a的取值范围．（不能用导数解）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设1＞x₂＞x₁＞0，根据f（x₂）-f（x₁）≥0，求得a≥[x12+x₁•x₂+x22]，求得x12+x₁•x₂+x22＜3，
可得a的范围．

解答： 解：∵f（x）=-x³+ax在（0，1）是增函数，设1＞x₂＞x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=-x23+ax₂-（-x13+ax₁）=x13-x23+a（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）[-（x12+x₁•x₂+x22）+a（x₂-x₁）]=（x₂-x₁）[-（x12+x₁•x₂+x22）+a]．
要使f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数，
应有-（ x12+x₁•x₂+x22 ）+a≥0，即 a≥x12+x₁•x₂+x22．
由于1＞x₂＞x₁＞0，可得 x12+x₁•x₂+x22＜3，∴a≥3，
即a的范围为[3，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义和证明，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．