Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧面，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=.
(1) 求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）设 =l(0≤l≤1)，且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角  
的大小为30°，试求l的值.

Answer 1

(1)证明见解析；（2）

解析试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：1）因为侧面,侧面，故,
在中, 由余弦定理得：
，
所以，   3 分 
故,所以,而平面.  5分
（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为
 轴建立空间直角坐标系．
则，,．  7分
所以,所以, 
则．设平面的法向量为，
则由,得,即，
令，则是平面的一个法向量．    10分
侧面,是平面的一个法向量，
.
两边平方并化简得，所以=1或（舍去）.    12分
考点：（1）证明直线与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题.