Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示的曲线为C，给出下列四个命题，其中正确命题序号是

 

（1）若曲线C为椭圆，则1＜t＜4
（2）若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4
（3）曲线C不可能是圆  
（4）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

5

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出（1）错；据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出（2）对；由圆方程特点，求出t，判断（3）错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出（4）对．

解答： 解：对于（1），若C为椭圆，应该满足4-t＞0，且t-1＞0，且4-t≠t-1，解得1＜t＜4 且t≠

5

2

，故（1）错；
对于（2），若C为双曲线，应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1 故（2）对；
对于（3），若C表示圆，应该满足4-t=t-1＞0则 t=

5

2

，故（3）错；
对于（4），若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜

5

2

，故（4）对．
故答案为：（2）（4）．

点评：本题考查方程表示的曲线的形状，考查圆和椭圆、双曲线的方程的特点，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．