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已知数列具有性质P:对任意
两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题:
①数列0,1,3具有性质P;
②数列0,2,4,6具有性质P;
③若数列A具有性质P,则
④若数列具有性质P,则
其中真命题有
A.4个B.3个C.2个D.1个
B

分析:根据数列A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质P:对任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项,逐一验证,可知①错误,其余都正确.
解:∵对任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项,
①数列0,1,3中,a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数,故①不正确;
②数列0,2,4,6,aj+ai与aj-ai(1≤i≤j≤3)两数中都是该数列中的项,并且a4-a3=2是该数列中的项,故②正确;
③若数列A具有性质P,则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项,
∵0≤a1<a2<…<an,n≥3,
而2an不是该数列中的项,∴0是该数列中的项,
∴a1=0;故③正确;
④∵数列a1,a2,a3具有性质P,0≤a1<a2<a3
∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项,且a1=0,
1°若a1+a3是该数列中的一项,则a1+a3=a3
∴a1=0,易知a2+a3不是该数列的项
∴a3-a2=a2,∴a1+a3=2a2
2°若a3-a1是该数列中的一项,则a3-a1=a1或a2或a3
①若a3-a1=a3同1°,
②若a3-a1=a2,则a3=a2,与a2<a3矛盾,
③a3-a1=a1,则a3=2a1
综上a1+a3=2a2
故选B.
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